如何寻找最优值以满足应用需求？探索寻找最优算法的路径
一、引言
在科学研究、工程技术和日常生活中，我们经常需要寻找最优解以满足特定的应用需求。
无论是企业决策、工程设计还是资源优化，寻找最优解都是一个核心问题。
本文将探讨如何寻找最优值以满足应用需求，并介绍一些常用的寻找最优算法的方法。
二、问题定义与评估标准
在寻找最优解之前，首先需要明确问题的定义和评估标准。我们需要明确以下几个问题：
1. 问题定义：明确问题的边界和约束条件，确定需要优化的目标函数。
2. 评估标准：根据应用需求，确定评价解的质量的标准。
3. 决策变量：确定影响问题解的变量，并明确其范围和性质。
以旅行商问题为例，我们需要找到一条从起点到终点，经过所有给定城市且总路程最短的路径。
在这个问题中，目标函数是最短路径长度，决策变量是路径选择。
评估标准就是路径长度是否最短。
三、寻找最优算法的方法
根据问题的性质和评估标准，我们可以选择适合的算法来寻找最优解。下面介绍几种常用的寻找最优算法的方法：
1. 线性规划与非线性规划
线性规划和非线性规划是求解优化问题的常用方法。
线性规划适用于目标函数和约束条件均为线性的问题，而非线性规划则适用于目标函数或约束条件为非线性的问题。
通过求解目标函数的极值，我们可以找到最优解。
2. 动态规划
动态规划是一种求解具有重叠子问题和最优子结构性质问题的有效方法。
通过将问题分解为若干个子问题，动态规划可以求解复杂系统的最优解。
常见的应用场景包括背包问题、最短路径问题等。
3. 启发式搜索算法
当问题具有大量的解空间时，启发式搜索算法可以帮助我们快速找到近似最优解。
常见的启发式搜索算法包括贪心算法、A算法、遗传算法等。
这些算法通过引入启发式信息来指导搜索方向，提高搜索效率。
4. 优化软件工具
随着计算机技术的发展，许多优化软件工具如MATLAB、Python的SciPy库等提供了丰富的优化算法库，可以方便地求解各种优化问题。
这些工具提供了直观的界面和强大的计算能力，使得求解优化问题变得更加简单高效。
四、案例分析与应用实践
为了更好地理解如何寻找最优解，我们通过一个案例分析来展示实际应用中的步骤和方法。
假设我们要解决一个供应链优化问题，目标是降低成本并提高效率。
我们可以通过以下步骤来寻找最优解：
1. 问题定义：明确供应链的优化目标，如降低成本、提高效率等。
2. 数据收集与分析：收集相关的数据，如供应商价格、运输成本、库存费用等。
3. 建立模型：根据数据建立优化模型，设定约束条件和目标函数。
4. 选择算法：根据问题性质选择合适的算法，如线性规划、遗传算法等。
5. 求解与优化：运用所选算法求解模型，得到最优解。
6. 结果验证与实施：对结果进行评估和验证，将最优解应用到实际供应链管理中。
五、结论
寻找最优解是满足应用需求的核心问题。
通过明确问题定义和评估标准，选择合适的算法和优化软件工具，我们可以有效地找到最优解。
在实际应用中，我们需要根据问题的性质和需求灵活地选择和应用这些方法。
希望本文能够帮助读者更好地理解如何寻找最优值以满足应用需求。
寻求最优最快的算法，快速找出某一数组中符合条件的子集（如最大的100个）
我记得这个再算法分析里面我学过，多种排序方法里面，时空效率最高的应该是堆排序堆排序的最坏时间复杂度为O(nlgn)。
堆排序的平均性能较接近于最坏性能。
由于建初始堆所需的比较次数较多，所以堆排序不适宜于记录数较少的文件。
堆排序是就地排序，辅助空间为O(1)，堆排序的算法：void HeapSort(SeqIAst R){ //对R[1..n]进行堆排序，不妨用R[0]做暂存单元int i；BuildHeap(R)； //将R[1-n]建成初始堆for(i=n;i>1；i–){ //对当前无序区R[1..i]进行堆排序，共做n-1趟。
R[0]=R[1]；R[1]=R[i];R[i]=R[0]； //将堆顶和堆中最后一个记录交换Heapify(R，1，i-1)； //将R[1..i-1]重新调整为堆，仅有R[1]可能违反堆性质} //endfor} //HeapSort
什么是粒子群算法？
粒子群算法介绍（摘自）优化问题是工业设计中经常遇到的问题,许多问题最后都可以归结为优化问题. 为了解决各种各样的优化问题,人们提出了许多优化算法,比较著名的有爬山法、遗传算法等.优化问题有两个主要问题:一是要求寻找全局最小点,二是要求有较高的收敛速度. 爬山法精度较高,但是易于陷入局部极小. 遗传算法属于进化算法( Evolutionary Algorithms) 的一种,它通过模仿自然界的选择与遗传的机理来寻找最优解. 遗传算法有三个基本算子:选择、交叉和变异. 但是遗传算法的编程实现比较复杂,首先需要对问题进行编码,找到最优解之后还需要对问题进行解码,另外三个算子的实现也有许多参数,如交叉率和变异率,并且这些参数的选择严重影响解的品质,而目前这些参数的选择大部分是依靠经验.1995 年Eberhart 博士和kennedy 博士提出了一种新的算法;粒子群优化(Partical Swarm Optimization -PSO) 算法 . 这种算法以其实现容易、精度高、收敛快等优点引起了学术界的重视,并且在解决实际问题中展示了其优越性.粒子群优化(Partical Swarm Optimization – PSO) 算法是近年来发展起来的一种新的进化算法( Evolu2tionary Algorithm – EA) 算法属于进化算法的一种,和遗传算法相似,它也是从随机解出发,通过迭代寻找最优解,它也是通过适应度来评价解的品质. 但是它比遗传算法规则更为简单,它没有遗传算法的“交叉”(Crossover) 和“变异”(Mutation) 操作. 它通过追随当前搜索到的最优值来寻找全局最优 .粒子群算法1. 引言粒子群优化算法(PSO)是一种进化计算技术(evolutionary computation)，有Eberhart博士和kennedy博士发明。
源于对鸟群捕食的行为研究PSO同遗传算法类似，是一种基于叠代的优化工具。
系统初始化为一组随机解，通过叠代搜寻最优值。
但是并没有遗传算法用的交叉(crossover)以及变异(mutation)。
而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
详细的步骤以后的章节介绍同遗传算法比较，PSO的优势在于简单容易实现并且没有许多参数需要调整。
目前已广泛应用于函数优化，神经网络训练，模糊系统控制以及其他遗传算法的应用领域2. 背景: 人工生命人工生命是来研究具有某些生命基本特征的人工系统. 人工生命包括两方面的内容1. 研究如何利用计算技术研究生物现象2. 研究如何利用生物技术研究计算问题我们现在关注的是第二部分的内容. 现在已经有很多源于生物现象的计算技巧. 例如, 人工神经网络是简化的大脑模型. 遗传算法是模拟基因进化过程的.现在我们讨论另一种生物系统- 社会系统. 更确切的是, 在由简单个体组成的群落与环境以及个体之间的互动行为. 也可称做群智能(swarm intelligence). 这些模拟系统利用局部信息从而可能产生不可预测的群体行为例如floys 和 boids, 他们都用来模拟鱼群和鸟群的运动规律, 主要用于计算机视觉和计算机辅助设计.在计算智能(computational intelligence)领域有两种基于群智能的算法. 蚁群算法(ant colony optimization)和粒子群算法(particle swarm optimization). 前者是对蚂蚁群落食物采集过程的模拟. 已经成功运用在很多离散优化问题上.粒子群优化算法(PSO) 也是起源对简单社会系统的模拟. 最初设想是模拟鸟群觅食的过程. 但后来发现PSO是一种很好的优化工具.3. 算法介绍如前所述，PSO模拟鸟群的捕食行为。
设想这样一个场景：一群鸟在随机搜索食物。
在这个区域里只有一块食物。
所有的鸟都不知道食物在那里。
但是他们知道当前的位置离食物还有多远。
那么找到食物的最优策略是什么呢。
最简单有效的就是搜寻目前离食物最近的鸟的周围区域。
PSO从这种模型中得到启示并用于解决优化问题。
PSO中，每个优化问题的解都是搜索空间中的一只鸟。
我们称之为“粒子”。
所有的例子都有一个由被优化的函数决定的适应值(fitness value)，每个粒子还有一个速度决定他们飞翔的方向和距离。
然后粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索PSO 初始化为一群随机粒子(随机解)。
然后通过叠代找到最优解。
在每一次叠代中，粒子通过跟踪两个极值来更新自己。
第一个就是粒子本身所找到的最优解。
这个解叫做个体极值pBest. 另一个极值是整个种群目前找到的最优解。
这个极值是全局极值gBest。
另外也可以不用整个种群而只是用其中一部分最为粒子的邻居，那么在所有邻居中的极值就是局部极值。
在找到这两个最优值时, 粒子根据如下的公式来更新自己的速度和新的位置v[] = v[] + c1 * rand() * (pbest[] – present[]) + c2 * rand() * (gbest[] – present[]) (a)present[] = persent[] + v[] (b)v[] 是粒子的速度, persent[] 是当前粒子的位置. pbest[] and gbest[] 如前定义 rand () 是介于（0， 1）之间的随机数. c1, c2 是学习因子. 通常 c1 = c2 = 2.程序的伪代码如下For each particle____Initialize particleENDDo____For each particle________Calculate fitness value________If the fitness value is better than the best fitness value (pBest) in history____________set current value as the new pBest____End____Choose the particle with the best fitness value of all the particles as the gBest____For each particle________Calculate particle velocity according equation (a)________Update particle position according equation (b)____EndWhile maximum iterations or minimum error criteria is not attained在每一维粒子的速度都会被限制在一个最大速度Vmax，如果某一维更新后的速度超过用户设定的Vmax，那么这一维的速度就被限定为Vmax4. 遗传算法和 PSO 的比较大多数演化计算技术都是用同样的过程1. 种群随机初始化2. 对种群内的每一个个体计算适应值(fitness value).适应值与最优解的距离直接有关3. 种群根据适应值进行复制4. 如果终止条件满足的话，就停止，否则转步骤2从以上步骤，我们可以看到PSO和GA有很多共同之处。
两者都随机初始化种群，而且都使用适应值来评价系统，而且都根据适应值来进行一定的随机搜索。
两个系统都不是保证一定找到最优解但是，PSO 没有遗传操作如交叉(crossover)和变异(mutation). 而是根据自己的速度来决定搜索。
粒子还有一个重要的特点，就是有记忆。
与遗传算法比较, PSO 的信息共享机制是很不同的. 在遗传算法中，染色体(chromosomes) 互相共享信息，所以整个种群的移动是比较均匀的向最优区域移动. 在PSO中, 只有gBest (or lBest) 给出信息给其他的粒子，这是单向的信息流动. 整个搜索更新过程是跟随当前最优解的过程. 与遗传算法比较, 在大多数的情况下，所有的粒子可能更快的收敛于最优解5. 人工神经网络 和 PSO人工神经网络(ANN)是模拟大脑分析过程的简单数学模型，反向转播算法是最流行的神经网络训练算法。
进来也有很多研究开始利用演化计算(evolutionary computation)技术来研究人工神经网络的各个方面。
演化计算可以用来研究神经网络的三个方面：网络连接权重，网络结构(网络拓扑结构，传递函数)，网络学习算法。
不过大多数这方面的工作都集中在网络连接权重，和网络拓扑结构上。
在GA中，网络权重和/或拓扑结构一般编码为染色体(Chromosome)，适应函数(fitness function)的选择一般根据研究目的确定。
例如在分类问题中，错误分类的比率可以用来作为适应值演化计算的优势在于可以处理一些传统方法不能处理的例子例如不可导的节点传递函数或者没有梯度信息存在。
但是缺点在于：在某些问题上性能并不是特别好。
2. 网络权重的编码而且遗传算子的选择有时比较麻烦最近已经有一些利用PSO来代替反向传播算法来训练神经网络的论文。
研究表明PSO 是一种很有潜力的神经网络算法。
PSO速度比较快而且可以得到比较好的结果。
而且还没有遗传算法碰到的问题这里用一个简单的例子说明PSO训练神经网络的过程。
这个例子使用分类问题的基准函数(Benchmark function)IRIS数据集。
(Iris 是一种鸢尾属植物) 在数据记录中，每组数据包含Iris花的四种属性：萼片长度，萼片宽度，花瓣长度，和花瓣宽度，三种不同的花各有50组数据. 这样总共有150组数据或模式。
我们用3层的神经网络来做分类。
现在有四个输入和三个输出。
所以神经网络的输入层有4个节点，输出层有3个节点我们也可以动态调节隐含层节点的数目，不过这里我们假定隐含层有6个节点。
我们也可以训练神经网络中其他的参数。
不过这里我们只是来确定网络权重。
粒子就表示神经网络的一组权重，应该是4*6+6*3=42个参数。
权重的范围设定为[-100，100] (这只是一个例子，在实际情况中可能需要试验调整).在完成编码以后，我们需要确定适应函数。
对于分类问题，我们把所有的数据送入神经网络，网络的权重有粒子的参数决定。
然后记录所有的错误分类的数目作为那个粒子的适应值。
现在我们就利用PSO来训练神经网络来获得尽可能低的错误分类数目。
PSO本身并没有很多的参数需要调整。
所以在实验中只需要调整隐含层的节点数目和权重的范围以取得较好的分类效果。
6. PSO的参数设置从上面的例子我们可以看到应用PSO解决优化问题的过程中有两个重要的步骤: 问题解的编码和适应度函数PSO的一个优势就是采用实数编码, 不需要像遗传算法一样是二进制编码(或者采用针对实数的遗传操作.例如对于问题 f(x) = x1^2 + x2^2+x3^2 求解, 粒子可以直接编码为 (x1, x2, x3), 而适应度函数就是f(x). 接着我们就可以利用前面的过程去寻优.这个寻优过程是一个叠代过程, 中止条件一般为设置为达到最大循环数或者最小错误PSO中并没有许多需要调节的参数,下面列出了这些参数以及经验设置粒子数: 一般取 20 – 40. 其实对于大部分的问题10个粒子已经足够可以取得好的结果, 不过对于比较难的问题或者特定类别的问题, 粒子数可以取到100 或 200粒子的长度: 这是由优化问题决定, 就是问题解的长度粒子的范围: 由优化问题决定,每一维可是设定不同的范围Vmax: 最大速度,决定粒子在一个循环中最大的移动距离,通常设定为粒子的范围宽度,例如上面的例子里,粒子 (x1, x2, x3) x1 属于 [-10, 10], 那么 Vmax 的大小就是 20学习因子: c1 和 c2 通常等于 2. 不过在文献中也有其他的取值. 但是一般 c1 等于 c2 并且范围在0和4之间中止条件: 最大循环数以及最小错误要求. 例如, 在上面的神经网络训练例子中, 最小错误可以设定为1个错误分类, 最大循环设定为2000, 这个中止条件由具体的问题确定.全局PSO和局部PSO: 我们介绍了两种版本的粒子群优化算法: 全局版和局部版. 前者速度快不过有时会陷入局部最优. 后者收敛速度慢一点不过很难陷入局部最优. 在实际应用中, 可以先用全局PSO找到大致的结果,再有局部PSO进行搜索.另外的一个参数是惯性权重, 由Shi 和Eberhart提出, 有兴趣的可以参考他们1998年的论文(题目: A modified particle swarm optimizer)
几种经典算法回顾
今天无意中从箱子里发现了大学时学算法的教材《算法设计与分析》，虽然工作这么几年没在什么地方用过算法，但算法的思想还是影响深刻的，可以在系统设计时提供一些思路。
大致翻了翻，重温了一下几种几种经典的算法，做一下小结。
分治法动态规划贪心算法回溯法分支限界法分治法1）基本思想将一个问题分解为多个规模较小的子问题，这些子问题互相独立并与原问题解决方法相同。
递归解这些子问题，然后将这各子问题的解合并得到原问题的解。
2）适用问题的特征该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题3）关键如何将问题分解为规模较小并且解决方法相同的问题分解的粒度4）步骤分解->递归求解->合并 divide-and-conquer(P) { if ( | P | <= n0) adhoc(P); //解决小规模的问题 divide P into smaller subinstances P1,P2,…,Pk；//分解问题 for (i=1,i<=k,i++) yi=divide-and-conquer(Pi); //递归的解各子问题 return merge(y1,…,yk); //将各子问题的解合并为原问题的解 }google的核心算法MapReduce其实就是分治法的衍生5）分治法例子：合并排序规约过程：动态规划1）基本思想将待求解问题分解成若干个子问题，但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的，如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算2）适用问题的特征最优子结构在递归计算中，许多子问题被重复计算多次3）步骤找出最优解的性质，并刻划其结构特征。
递归地定义最优值。
以自底向上的方式计算出最优值。
根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
贪心算法1）基本思想贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。
也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择2）适用问题的特征贪心选择性质，即所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。
最优子结构性质3）步骤：不断寻找局部最优解4）例子：找硬币，哈夫曼编码，单源最短路径，最小生成树（Prim和Kruskal） 最小生成树图示：回溯法1）基本思想在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索2）适用问题的特征：容易构建所解问题的解空间3）步骤定义问题的解空间 确定易于搜索的解空间结构以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索 4）回溯法例子：N皇后问题分支限界法1）基本思想分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。
在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
活结点一旦成为扩展结点，就一次性产e79fa5ee59b9ee7ad生其所有儿子结点。
在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。
此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。
这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。
2）分支限界法例子：单源最短路径问题问题描述：在下图所给的有向图G中，每一边都有一个非负边权。
